Řešení soustav tří lineárních rovnic se třemi neznámými
Kalkulačka provádí výpočet soustavy lineárních rovnic o třech neznámých 3x3. Pro řešení soustavy rovnic se třemi neznámými pomocí kalkulačky, zadejte koeficienty a klikněte "Vyřešit".
Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy lineárních rovnic
Cramerovo pravidlo umožňuje řešit soustavy
n lineárních rovnic o
n neznámých, kde matice soustavy rovnic představuje regulární matici řádu n. Nejčastěji Cramerovo pravidlo využívají pro soustavy dvou a tří lineárních rovnic, protože výpočty determinantů čtvrtého a vyšších řádů jsou dost náročné. Cramerovo pravidlo je vhodné pro řešení čtverečních soustav lineárních algebraických rovnic, u kterých determinant hlavní matice je různý od nuly. Pokud není Cramerovo pravidlo použitelné, můžeme vyřešit soustavu rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody.
Je dána soustava n lineárních rovnic o n neznámých x
1, x
2, ..., x
n:
![soustava n lineárních rovnic o n neznámých](/images/system-of-linear-equations.png)
Protože matice teto soustavy rovnic má n řádků a n sloupců, je čtvercová.
Označme determinant:
![determinant matice soustavy rovnic](/images/determinant-of-the-matrix-of-coefficients.png)
Označme
![determinant](/images/delta-j.png)
determinant matici, která vznikla nahrazením j−tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy rovnic
![determinant matice soustavy lineárních rovnic, ve které je j-tý sloupec nahrazen sloupcem pravých stran soustavy rovnic](/images/determinant-j.png)
Je-li determinant nenulový
![determinant](/images/determinant-not-zero.png)
, soustava má jedno řešení.
Řešení soustavy lineárních rovnic najdeme přes Cramerovo pravidlo:
![Cramerovo pravidlo](/images/cramers-formula.png)
Přiklad. Najděme řešení následující soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými pomocí Cramerova pravidla.
![soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými](/images/system-of-three-linear-equations.png)
Determinant matice soustavy je nenulový, proto lze použít Cramerovo pravidlo.
![řešení následující soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými](/images/solving-system-of-three-equations-cramers-rule.png)
Podle Cramerova pravidla
Řešení soustavy lineárních rovnic (Gaussova eliminační metoda)
Přiklad. Řešení soustavy tří lineárních rovnic o třech neznámých pomocí Gaussovy eliminační metody.
![Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými](/images/system-of-three-linear-equations.png)
Vydělíme první rovnice soustavy 3
![Řešení soustavy rovnic pomocí Gaussova eliminační metoda](/images/system-of-three-linear-equations-2.png)
Násobíme rovnice (**) 4 a odečteme od druhé rovnici, pak násobíme rovnice (**) -1 a odečteme od třetí rovnice. Získáme následující soustavu rovnic
![Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussova eliminační metoda](/images/system-of-three-linear-equations-3.png)
Vydělíme druhou rovnici
![](/images/divide83.png)
a získáme
![](/images/system-of-three-linear-equations-4.png)
Násobíme rovnice (***)
![](/images/multiply43.png)
a odečteme od třetí rovnice. Máme soustavu rovnic
![Řešení soustavy lineárních rovnic](/images/system-of-three-linear-equations-5.png)
Z poslední rovnice nacházíme z = 3. Dosadíme výsledek do druhé rovnice:
![](/images/system-of-three-linear-equations-y.png)
=> y = 1.
Dosadíme
y a
z do první rovnici a zjistíme
x ![](/images/system-of-three-linear-equations-x.png)
=> x = 5.
Výsledek: x = 5, y = 1, z = 3.